Realizado por: Ana Rangel C.I:v-13966889
Notación y terminología: Se denota como PG al Polinomio Indicador de Ciclos, designado como
PG(X1,X2,…..,Xn)= (1/│G│ ) Σ(representación de estructura de ciclo de Π)
Antecedentes: Tomando como referencia el libro del profesor José Rodríguez, "El arte de contar" , específicamente el Capítulo VII, en el ejemplo 3.9 donde se resuelve usando el Teorema de Polya para una circunferencia se ve claramente como resolver el problema. También en el libro "Matemáticas discretas y combinatoria" de Ralph Grimaldi, en el Capítulo XII el ejemplo 12.29 donde se observa como resolver el problema para un hexágono, dá una clara idea de la resolución del problema.
Enunciado: Encuentre usando el Teorema de Polya, el número de maneras distintas de colorear los vértices de un triángulo equilátero con cinco colores.
Respuesta:
Para construir el Polinomio Indicador de Ciclos, debemos identificar según la figura ( en éste caso el triángulo ) los ciclos según el conjunto de vértices, del siguiente modo:
1.- (1)(2)(3) ..................X13
2.- (123) .......................X3
3.- (12)(3) ....................X2X1
4.-(1)(23) .................... X1X2
5.-(312) ........................X3
6.-(31)(2) .....................X2X1
Hemos identificado los 6 ciclos, entonces G=6
construimos el polinomio Pg=(1/6)*(X13 +2X3 +3X1X2)
sustituyendo X=5 obtendremos Pg=35, los vértices de un triángulo se pueden colorear de 35 maneras diferentes usando 5 colores
Moraleja: Es importante comprender el concepto de ciclos, estudiando previamente el Teorema de Burnside para entender el Teorema de Polya